By:-Sihag Sir
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संख्या पध्दति भाग-2
एक संख्या अभाज्य है की नहीं की जाँच :-
दो संख्या के बीच कितने अभाज्य संख्या है को निकालने के लिए कोई संख्या इरास्थेनिस के द्वारा एक बिधि का उल्लेख आता है परन्तु प्रतियोगिता परीक्षा में किसी दी हुई संख्या के अभाज्य होने या न होने पर प्रश्न पूछे जाते हैं. मान लीजिये की p एक दी हुई संख्या है तो सबसे पहले आप n एक ऐसी संख्या खोजिये जिससे n^2 ≥ p हो . अब आप n से छोटी सभी अभाज्य संख्या से p को भाग दें यदि p इनमे से किसी भी संख्या से भाजित न हो तो p अभाज्य है नहीं तो p भाज्य होगी
उदाहरण :- क्या 437 अभाज्य है ?
हल :- यहाँ (21)^2 > 437 है और 21 से छोटी अभाज्य संख्या क्रमशः 2, 3, 5, 7,11,13,17,19 है और 437 संख्या 19 से विभाजित है अतः 437 अभाज्य नहीं है
उदाहरण :- क्या 811 अभाज्य है ?
हल :- यहाँ (30)^2 > 811 है और 30 से छोटी अभाज्य संख्या क्रमशः 2, 3, 5, 7,11,13,17,19,23 और 29 है और 437 किसी संख्या से विभाजित नहीं है अतः 811 अभाज्य है.
दो परिमेय संख्या के बीच अनगिनत परिमेय संख्या निकालना:-
यदि दो संख्या p और q हैं और इनके बीच हमें n परिमेय संख्या निकालना है तो इसके दो बिधि है
पहली विधि :- इस सूत्र में n = 1, 2, 3, ----- है
उदाहरण:- 2 और 3 के बीच 2 परिमेय संख्या निकालें
हल :- यहाँ p = 2 और q = 3 है , पहली संख्या के लिए n = 1 लेने पर 5/2 तथा n = 2 रखने से 8/3 प्राप्त होती है. आप n के अलग अलग मान के लिए अपनी इच्छा से अनगिनत संख्या निकाल सकते हैं .
दूसरी विधि :- संख्य को 10 से गुना और भाग करें
2 = 20/10 और 3 = 30/10 लिख सकते हैं.
21/10 , 22/10 , 23/10 -----------29/10 परिमेय संख्या है . आप 100 से गुना और भाग देकर और भी अधिक संख्या निकाल सकते हैं
2 = 200/100 और 3 = 300 / 100 है और 201/100 , 202/100---------------299/100 परिमेय है.
भाज्यता की जाँच :-
2 से भाज्यता की जाँच:- कोई संख्या 2 से बिभाजित होगी यदि इकाई अंक 0,2,4,6,और 8 हो. जैसे – 978 , 4567890
3 से भाज्यता की जाँच:-:- कोई संख्या 3 से बिभाजित होगी यदि संख्या के सभी अंको का योग 3 से विभाज्य हो. जैसे – 954 के सभी अंक का योग 9 + 5 + 4 = 18 , 3 से विभाज्य है अतः 954 भी 3 से विभाजित है .
4 से भाज्यता की जाँच:-:- कोई संख्या 4 से बिभाजित होगी यदि अंतिम दो अंक (इकाई अंक दहाई अंक) 4 से विभाजित हो या अंतिम दो अंक 00 हो.
928 , 4 से विभाज्य है क्योंकि 28 , 4 से भाजित है .
5 से भाज्यता की जाँच:- :- कोई संख्या 5 से बिभाजित होगी यदि इकाई अंक 0 और 5 हो . जैसे – 120 , 2567965
6 से भाज्यता की जाँच:-:- कोई संख्या 2 से बिभाजित होगी यदि वह 2 और 3 से विभाज्य होगी . 126 , 2 और 3 से विभाजित होती है अतः यह 6 से विभाजित होगी.
7 से भाज्यता की जाँच:- :- संख्या के अंकों को विपरीत क्रम में (दायीं से बायीं ओर) ले और इन्हें क्रमशः 1, 3, 2, 6, 4, 5 से गुणा करें और यह क्रम जब तक आवश्यक हो दुहरायें . परिणाम को योग करें और यदि यह परिणाम 7 से विभाज्य हो तो मूल संख्या भी 7 से बिभाज्य होगी .
उदहारण :-क्या 1603 , 7 से विभाज्य है ?
3 x 1 +0 x 3 + 6 x 2 +1 x 6 =21, 7 से विभाज्य है अतः 1603 भी 7 से विभाज्य होगी.
8 से भाज्यता की जाँच:-: कोई संख्या 8 से बिभाजित होगी यदि अंतिम तीन अंक (इकाई, दहाई और सैकड़ा अंक ) 8 से विभाजित हो या अंतिम तीन अंक 000 हो . जैसे - 28000 , 856,
9 से भाज्यता की जाँच:-:- कोई संख्या 9 से बिभाजित होगी यदि संख्या के सभी अंको का योग 9 से विभाज्य हो. जैसे – 954 के सभी अंक का योग 9 + 5 + 4 = 18 , 9 से विभाज्य है अतः 954 भी 9 से विभाजित है .
10 से भाज्यता की जाँच:-:- कोई संख्या 10 से बिभाजित होगी यदि इकाई अंक 0 हो . जैसे – 120 , 25679650
11 से भाज्यता की जाँच:-:- कोई संख्या 11 से विभाजित होगी यदि इसके सम स्थानों पर स्थित संख्या और विषम स्थान पर स्थित संख्या के योग का अंतर 11 से भाजित हो या 0 हो.
2321, में सम स्थान पर स्थित संख्या का योग = 2 + 2 = 4 तथा विषम स्थान पर स्थित संख्या का योग = 1 + 3 = 4 एवं इनका अंतर 4 – 4 = 0 है , अतः यह 11 से भाजित होगी
उदाहरण :- 234*5 यदि 9 से विभाजित है तो * के स्थान पर क्या आएगा?
हल :- 2+3+4+5 = 14 , उपरोक्त नियम से 9 से विभाजित होने के लिए संख्या का योग 9 का गुणनफल होना चाहिए. अतः * = 18 – 14 = 4
उदाहरण:- यदि x एवं y संख्या 653xy के दो अंक हैं जो 80 से विभाजित है तो x + y =?
a) 2 b)3 c) 4 d)5
हल :- संख्या 80 = 8 x 10 से विभाजित है , 10 से विभाजित होने के लिए इकाई अंक 0 होना चाहिए , अतः y = 0 होगा . साथ ही 8 से कोई संख्या तभी विभाजित होगी यदि अंतिम तीन अंक 8 से विभाजित होना आवश्यक है , अतः x = 2 और x + y = 2 + 0 = 2 होगा
इकाई अंक निकालना
उदाहरण:- (729)^59 का इकाई अंक क्या होगा
हल :- घात में 1 घटाए और 4 से भाग दें .
59 – 1 = 58 और 58 में 4 से भाग देने पर 2 शेष आता है
अतः इकाई का अंक = (9)2+1 = 93 = 729 में इकाई अंक 9 होगा
उदाहरण :- (2467)^153 x (341)^72 के गुणनफल में इकाई का अंक क्या होगा
हल:- (2467)^153 में (153 – 1)/4 में शेष = 0 है ,अतः इकाई का अंक = (7)0+1 = 7 होगा
(341)^72 में (72 – 1)/4 में शेष = 3 है तो इकाई का अंक = (1)3+1 = 1 होगा
अतः (2467)^153 x (341)^72 के गुणनफल में इकाई का अंक = 7 x 1 = 7
उपरोक्त उदाहरण के अनुसार :- यदि किसी दी हुई संख्या y की घात x हो अर्थात संख्या (y)x हो तो x-1 में 4 से भाग देकर शेष ज्ञात करते है. इकाई का अंक = (y की इकाई का अंक )शेष+1 होगा.
अंको से बनी बड़ी और छोटी संख्या :-
अंक सबसे बड़ी सबसे छोटी
2 99 10
3 999 100
4 9999 1000
5 99999 10000
प्रश्न:- सात अंको की सबसे बड़ी और आठ अंको की सबसे छोटी संख्या का अंतर ज्ञात कीजिये
उत्तर :- सात अंको की सबसे बड़ी संख्या = 9999999 तथा सात अंको की सबसे छोटी संख्या = 10000000 होगी और इनका अंतर = 10000000 – 9999999 = 1
संख्या के योग :-
1. लगातार n प्राकृत संख्या का योग = 1 + 2 +---+n = n(n+1)/2
2. लगातार n तक की विषम संख्या का योग = (n+1)^2/4
3. लगातार n सम संख्या का योग = n(n+1)
4. लगातार n प्राकृत संख्या के वर्गों का योग = n(n+1)(2n+1)/6
5. लगातार n प्राकृत संख्या के घनो का योग = n^2 (n+1)2/4
6. प्रथम n विषम संख्या का योग = n^2
उदाहरण :- प्रथम 10 विषम संख्या का योग बताएं
हल :- (10)2 = 100 ( सूत्र संख्या = 6)
उदाहरण :- 1 से 101 तक की विषम संख्या का योग बताये
हल :- (1 + 101)2 / 4= 2601 ( सूत्र संख्या = 2)
उदाहरण :- 1 से 100 तक के सभी संख्या का योग बताइए
हल :- (100 x 101)/2 = 5050
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